十八
从对象征性的空间世界的这种伟大的直观出发，便产生了西方数学最终的结论性的创造——在群论中把函数论加以扩展和精练。“群”，即是同源的数学意象的集合，例如，某一类型的所有微分方程之总体，便是一“群”。“群”在结构和秩序上类似于戴德金的“数体”（number-bodies）。在此，我们所感受到的，是全新的数的世界，对于行家的内在视觉而言，这世界并非全然地在感觉上是超越的；现在的问题在于，必须在这些庞大的抽象形式系统中，找出一些元素，相对于一种特殊的运算（如系统的转换）时，它们却能不受影响，就是说，可以保持不变。用数学的语言来说，这个问题，正如克莱因（Klein）所一般地阐述的：给定一n维的簇面（“空间”）及一组转换，需要考察的，乃是属于该簇面的诸形式不会因为“群”的转换而改变其既有的诸特性。
到了这一顶峰之后，我们的西方数学，作为浮士德心灵的观念的投影和最纯粹的表现，已耗尽了其每一种内在的可能性，完成了它的命运，就这样，它终止了自身的发展，一如古典文化的数学在公元前3世纪终结了一样。这两种科学（甚至在今天，能历史地考察其有机结构的，也只有这两种数学了），皆产生于一种全新的数的观念，在古典的情形中，是毕达哥拉斯的数的观念，在西方的情形中，是笛卡儿的数的观念。两者皆在百余年之后展尽了其所有的风采，达致其成熟的境界；两者皆在繁荣了三个世纪之后，皆于各自的文化步入大都市文明的时刻，完成了其观念的结构。这种相互依赖的深刻意义，马上就会给以说明。而此刻，对我们而言，明白伟大的数学家的时代已成过去，就已经够了。我们现今的工作，就是保存、润饰、修正、选择——而不再是伟大的动力性创造，这与晚期希腊化时代的亚历山大里亚数学所表现的巧妙的细节修补的特征是一样的。
下面的历史图表可以更清楚地说明两者之间的关系：
古典数学 西方数学
1.新的数字概念
约公元前540年，约公元1630年
数作为数量数作为关系
（毕达哥拉斯学派）（笛卡儿、帕斯卡尔、费马）
（牛顿、莱布尼茨，1670年）
（约公元前470年，雕刻胜过壁画） （约公元1670年，音乐胜过油画）
2.系统发展的顶峰
公元前450～前350年 公元1750～1800年
柏拉图、阿基塔斯、欧多克斯欧拉、拉格朗日、拉普拉斯
［菲狄亚斯、普拉克西特列斯（格鲁克、海顿、莫扎特）
（Praxiteles）］
3.图形世界的内在完成与总结
公元前300～250年 公元1800年之后
欧几里得、阿波罗尼乌斯、阿基米德高斯、柯西、黎曼
［吕西波斯（Lysippus）、（贝多芬）
莱奥卡雷斯（Leochares）］
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第三章 世界历史的问题（1）
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（A）观相的与系统的
一
现在，我们终于可以迈出决定性的一步，去描画出一个历史的意象了，这一意象独立于这样或那样的观察者所寄身的角度和历史时期的偶然性，亦独立于观察者本人的人格——他作为自身文化的一个带有偏私的成员，因其文化中宗教的、理智的、政治的和社会的倾向，而总是想依据某一受到时间和空间局限的视角去整理历史的材料，总是想形成一些武断任意的形式，并将历史的外表强行纳入其中，而实际上，这些武断任意的形式与历史的内在内容全然不合。
直到现在，我们一直缺失的，正是与所思考的对象保持超然（detachment）的态度。就自然的方面而言，这种超然很久以前就已经达到了，当然，对于自然，相对比较容易达到这种态度，因为物理学家显然能够做到不带个人色彩地将他的世界的机械因果图象系统化，就仿佛他本人根本不存在于这个世界中一样。
然而，对历史的形式世界完全有可能做同样的事。我们只是还没有意识到其可能性而已。现代历史学家总为自己能保持“客观性”而自豪，可恰恰是在他们的这一引以为荣的行为中，他们天真地和下意识地显露了自己的先入之见。也正是因为这一点，我们完全可以合法地说——在将来的某一天，还可以确然无误地说——迄今为止，一种真正的浮士德式的历史研究还根本没有出现。这样一种研究意味着，我们有足够的超然去承认，任何的“现在”都只是因为有某个特殊的一代人为参照，才成其为现在的；世代的数目是无限的；因此，在看待现在本身的时候，必须像看待某个无限遥远和陌生的东西一样，必须把它看作这样的一个时间段，在历史的整个图象中，其重要性既不比其他时段更大，也不比其他时段更小。这样一种处理方式将不会运用任何个人理想的歪曲的模量（modulus），也不会设置任何源于个人的坐标系，也不会受到任何个人的希望或恐惧或其他内心驱动力的影响，尽管那些东西在解释实际生活的时候也许有效。还有，这样一种超然的意志——用尼采的话说（据说他本人对这一提法极其不以为然）——能使人们从一个极其遥远的距离去认识到人的全部事实，去看待各别的文化，包括自身的文化在内，如同一个人沿着遥远的地平线扫视绵延的山峰一样。
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