x+5＝3
如果允许x为负数的话，此方程可解；若限定x不能是负数，则此方程 式就不能解了。同样，假如x表示饼数，方程式
2x+3＝10
1
是可解的。但倘若x表示人数、这个方程式就不能解了，因为 x ＝3 （人）
2 没有意义。
再如，一个代数式可以分解因数或不可以分解因数要看是在什么数域对 它进行分解。如
2
x＋1
在实数域中是不可分解的，可是在复数域却是可分的，因为
2
x＋1=（x+i）（x-i），
其中i＝
例如：
在 （a）中，主元素是0，因为0与任何整数相加的结果还是那个整数。
在 （b）中，主元素是1，因为任意一个有理数乘以1后的积还是自身。
在 （c）中，主元素是那个将x代作x，x代作x，x代作x的置换，
1 1 2 2 3 3 因为任何置换和自身结合的结果是不变的。
在（d）中，主元素是那个360°的旋转，因为系统中的任意一个旋转和 此旋转结合的结果仍为自身。
（3）每个元素必须有一个逆元素，即一个元素和其逆元素用系统中的运 算结合的结果是主元素。
例如：
在 （a）中，3的逆元素是-3，因为3加-3的和是0。
在 （b）中，a／b的逆元素是b／a，因为a／b和b／a相乘的积是1。
在（C）中，将x代作x，x代作x，x代作x的置换的逆元素是将x
1 2 2 3 3 1 2 代作x，x代作x，x代作x的置换。因为这两个置换结合的结果是那个将
1 3 2 1 3 x代作x，x代作x，x代作x的置换。
2 2 3 3 1 1
在 （d）中，60°的旋转（按顺时针方向）的逆元素是一个-60°的旋转
（按逆时针方向）。因为这两个旋转结合的结果是主元素——360°的旋转。
（4）结合律必须成立。
例如，设a，b，c是任意三个元素，又设运算用记号O表示，则结合律 指
（aOb）Oc＝aO（bOc）
应用到系统 （a）中，为
（3＋4）＋ 5＝3＋（4＋ 5）
所以结合律在 （a）中能成立。
对于一个系统，它是否成群，不但要看它的元素，还要看它的运算才能 决定。
3．群的重要性质
伽罗瓦用来解方程式的置换群具有十分有趣的性质。
在表示置换时，为了方便起见而采取一种简单的记法，即在记x，x，
1 2 x时可将x省去，只用1，2，3来表示。例如一个将x代作x，x代作x，
3 1 2 2 3 x代作x的置换，可以简单的记作（ 1 2 3）
3 1
这个记号的意思是说：
1变作2，2变作3，3变作1。
换句话说，就是
x变作x，x变作x，x变作x。
1 2 2 3 3 1
同样，（1 3 2）则表示一个将x变作x，x变作x，x变作x的置换。
1 3 3 2 2 1
（1 3）（2）或（1 3）
表示一个将x代作x，x代作x，x代作x的置换。
1 3 3 1 2 2
有时一个群的部分元素自己形成一群，这种群称为“约群”。例如，前 面（a）例中，一切整数对于加法而言，为一群。若单拿一切偶数来看，对于 加法，他们也成一群；因为群的四个性质它都适合：
（1）两个偶数的和还是偶数。
（2）0是主元素。
（3）一个正偶数有相应的负偶数作逆元素，而一个负偶数的逆元素是正 偶数。
（4）结合律成立。
所以，偶数群是整数群的约群。
伽罗瓦证明了约群的元素个数是原来的群的元素个数的约数。
在约群中，最重要的是“不变约群”，即一个约群中的任何元素应用原 来的群中任何元素的变形，[例如设有一个元素 （1 2），用另一个元素（1 2 3）去右乘它，再用（1 2 3）的逆元素（1 3 2）去左乘它，所得的结果是
（1 3 2）（1 2）（1 2 3）＝（2 3），
这个结果 （2 ）就称为3 （1 ）应用2 （1 2 3）的变形。]若仍是约群 中的元素，这个约群就称为原来那个群的不变约群。
一个群可以看作是它自己的约群，但不是真约群，一个真约群必须比原 来的群小。但如果H是G的不变约群，假如G中没有包含H而较H大的不变 真约群存在时，H就称为G的一个极大不变真约群。
假设G是一个群，H是G的一个极大不变真约群，K是H的一个极大不变 真的约群，……若将G的元素用H的元素个数去除，H的元素用K的元素个 数去除，……所得诸数，称为群G的“组合因数”。若这些组合因数都是质 数，则G是一个“可解数”。
在有些群中，群中的一切元素都是某一个元素 （主元素例外）的乘幂。 如在群
1，（1 2），（31 3） 2
2
中，（1 2 3）＝（1 2）（13 2） 3
＝（1 3） 2
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