在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使
用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线
性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次
突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。
勾股章提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则
m＞n。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到
3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些
内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出了这样一组公式：
这在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。
《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，
以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后我国数学著
作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例著书；甚至西算传入中国之后，人们著
书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入“九章”的框架。
然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给
出任何推导和证明。魏景元四年（263年），刘徽给《九章算术》作注，才大大弥补了
这个缺陷。
刘徽是我国也是世界历史上最伟大的数学家之一。遗憾的是，他的生平我们现在知
之甚少。据考证，他是山东邹平人。刘徽定义了若干数学概念，全面论证了《九章算术》
的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题，他在数学理论方面成绩斐然。
刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和
数学对概念定义的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。如他提出“凡数相与者
谓之率”，把“率”定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为“今两算得失相反，
要令正负以名之”，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相
反的相对关系。
《九章算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化
了中算中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。许多问题，只要找出
其中的各种率关系，通过“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”，都可以归结为今有术
求解。
一平面（或立体）图形经过平移或旋转，其面积（或体积）不变。把一个平面（或
立体）图形分解成若干部分，各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等。
基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是我国古代数学进行几何推演和证明时最
常用的原理。刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面
积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。
在数学证明中成功地运用无穷小分割和极限思想，是刘徽最杰出的贡献。
《九章算术》提出圆面积公式S＝l/2·r（S为圆面积，l为圆周长，r为半径）。为
证明这个公式，刘徽从圆内接正六边形S6（称为六觚）开始割圆，依次得圆内接正十二
边形S12，圆内接正二十四边形S24，……S6·2的n次方……所有S6·2的n次方＜S，但
“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这相
当于：
然后他证明
而
。于是刘徽就把圆化为与之合体的内接正多边形来求面积，再把这个正多边形分割
成以每边为底以圆心为顶点的无穷多个小三角形之和，所谓“觚而裁之，每辄自倍。
故以半周乘半径而为圆幂”。从明证明了S＝l/2·r。刘批评了以往“圆径一而周
三”的错误，指出此公式中周径是“至然之数”，即圆周率π。他以此公式为基础，求
出了π的两个近似值157/20和3927/1250，在中国首次创立了求圆周率的科学方法，奠
定了我国圆周率研究在世界长期领先的基础。
刘徽注关于体积问题的论述已经接触到现代体积理论的核心问题，指出四面体体积
的解决是多面体体积理论的关键，而用有限分割和棋验法无法解决其体积。为了解决这
个问题，他提出了一个重要原理“邪解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。
阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”，今称为刘徽原理。刘徽平分壍堵的长、宽、
高，通过出入相补，可以证明在壍堵的3/4中上述原理成立；而剩余的1/4与原壍堵的结
构相同，可以重复上述分割，又可以证明其3/4中这个原理成立。这个过程可以无限继
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